2023-06-06 21:37:44 來源：互聯(lián)網(wǎng)
1、彎曲變形:桿件在垂直于其軸線的載荷作用下，使原為直線的軸線變?yōu)榍€的變形。
2、 梁Beam--以彎曲變形為主的直桿稱為直梁，簡稱梁。
(資料圖)
3、 彎曲bending 平面彎曲plane bending7.1.2梁的計算簡圖 載荷: (1)集中力 concentrated loads (2)集中力偶 force-couple (3)分布載荷 distributed loads 7.1.3梁的類型 (1)簡支梁simple supported beam 上圖 (2)外伸梁overhanging beam (3)懸臂梁cantilever beam 7.2 梁彎曲時的內(nèi)力 7.2.1梁彎曲時橫截面上的內(nèi)力--剪力shearing force和彎矩bending moment 問題: 任截面處有何內(nèi)力? 該內(nèi)力正負(fù)如何規(guī)定? 例7-1 圖示的懸臂梁 AB ，長為 l ，受均布載荷 q 的作用，求梁各橫截面上的內(nèi)力。
4、 求內(nèi)力的方法--截面法 截面法的核心--截開、代替、平衡 內(nèi)力與外力平衡 解:為了顯示任一橫截面上的內(nèi)力，假想在距梁的左端為x處沿m-m截面將梁切開 。
5、 梁發(fā)生彎曲變形時，橫截面上同時存在著兩種內(nèi)力。
6、 剪力 -- 作用線切于截面、通過截面形心并在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。
7、 彎矩 -- 位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。
8、 剪切彎曲 -- 橫截面上既有剪力又有彎矩的彎曲。
9、 純彎曲 -- 梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。
10、 工程上一般梁(跨度 L 與橫截面高度 h 之比 L/h ＞5)，其剪力對強度和剛度的影響很小，可忽略不計，故只需考慮彎矩的影響而近似地作為純彎曲處理。
11、 規(guī)定:使梁彎曲成上凹下凸的形狀時，則彎矩為正;反之使梁彎曲成下凹上凸形狀時，彎矩為負(fù)。
12、7.2.2彎矩圖bending moment diagrams 彎矩圖:以與梁軸線平行的坐標(biāo)x表示橫截面位置，縱坐標(biāo)y按一定比例表示各截面上相應(yīng)彎矩的大小。
13、 例7-2 試作出例7-1中懸臂梁的彎矩圖。
14、 解 (1)建立彎矩方程 由例7-1知彎矩方程為(2)畫彎矩圖 彎矩方程為一元二次方程，其圖象為拋物線。
15、求出其極值點相連便可近似作出其彎矩圖。
16、 例7-3 圖示的簡支梁 AB ，在C點處受到集中力 F 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均為已知，試作出梁的彎矩圖。
17、 解 (1)求約束反力 (2)建立彎矩方程 上例中梁受連續(xù)均布載荷作用，各橫截面上的彎矩為x的一個連續(xù)函數(shù)，故彎矩可用一個方程來表達，而本例在梁的C點處有集中力F作用，所以梁應(yīng)分成AC和BC兩段分別建立彎矩方程。
18、例7-4 圖示的簡支梁 AB ，在C點處受到集中力偶 M 0 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均為已知，試作出梁的彎矩圖。
19、 解 (1)求約束反力 (2)建立彎矩方程 由于梁在C點處有集中力偶M作用，所以梁應(yīng)分AC和BC兩段分別建立彎矩方程。
20、 (3)畫彎矩圖 兩個彎矩方程均為直線方程 總結(jié)上面例題，可以得到作彎矩圖的幾點規(guī)律: (1)梁受集中力或集中力偶作用時，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折;在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量為集中力偶的大小 。
21、 (2)梁受到均布載荷作用時，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致 。
22、 (3)梁的兩端點若無集中力偶作用，則端點處的彎矩為0;若有集中力偶作用時，則彎矩為集中力偶的大小。
23、 7.3 梁純彎曲時的強度條件 7.3.1梁純彎曲(pure bending)的概念Concepts 純彎曲 -- 梁的橫截面上只有彎矩而沒有剪力。
24、 Q = 0，M = 常數(shù)。
25、7.3.2梁純彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 Normal Stresses in Beams 1.梁純彎曲時的 變形特點 Geometry of Deformation:平面假設(shè): 1)變形前為平面變形后仍為平面 2)始終垂直與軸線 中性層 Neutral Surface :既不縮短也不伸長(不受壓不受拉)。
26、 中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界面。
27、 中性軸 Neutral Axis :中性層與橫截面的交線。
28、 變形時橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。
29、 2.梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律 純彎曲時梁橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。
30、 由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方向也是線性分布的。
31、以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸長，橫截面上同一高度各點的正應(yīng)力相等，距中性軸最遠點有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點正應(yīng)力為零 。
32、 3.梁純彎曲時正應(yīng)力計算公式 在彈性范圍內(nèi)，經(jīng)推導(dǎo)可得梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應(yīng)力為 式中， M 為作用在該截面上的彎矩( Nmm ); y 為計算點到中性軸的距離( mm ); Iz Moment of Area about Z-axis 為橫截面對中性軸z的慣性矩( mm 4 )。
33、 在中性軸上 y = 0 ，所以 s = 0 ;當(dāng) y = y max 時， s = s max 。
34、 最大正應(yīng)力產(chǎn)生在離中性軸最遠的邊緣處， Wz橫截面對中性軸 z 的抗彎截面模量( mm 3 ) 計算時， M 和 y 均以絕對值代入，至于彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點處于受拉側(cè)還是受壓側(cè)來判斷。
35、受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。
36、 彎曲正應(yīng)力計算式雖然是在純彎曲的情況下導(dǎo)出的，但對于剪切彎曲的梁，只要其跨度 L 與橫截面高度 h 之比 L/h ＞5，仍可運用這些公式計算彎曲正應(yīng)力。
37、 7.3.3慣性矩和抗彎截面模量 簡單截面的慣性矩和抗彎截面模量計算公式7. 3.4梁純彎曲時的強度條件 對于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面，其上、下邊緣各點的彎曲正應(yīng)力即為最大工作應(yīng)力，具有最大工作應(yīng)力的點一般稱為 危險點 。
38、 梁的彎曲強度條件是 : 梁內(nèi)危險點的工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。
39、 運用梁的彎曲強度條件，可對梁進行強度校核、設(shè)計截面和確定許可載荷。
40、 7.4 提高梁強度的主要措施 提高梁強度的主要措施是: 1)降低彎矩 M 的數(shù)值 2)增大抗彎截面模量 W z 的數(shù)值 7.4.1降低最大彎矩 M max 數(shù)值的措施 1.合理安排梁的支承 2.合理布置載荷7.4.2合理選擇梁的截面 1.形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式，則 Wz 值可能不相同 2.面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模量 Wz 值不相同3.截面形狀應(yīng)與材料特性相適應(yīng) 7.4.3采用等強度梁 對于等截面梁，除 M max 所在截面的最大正應(yīng)力達到材料的許用應(yīng)力外，其余截面的應(yīng)力均小于，甚至遠小于許用應(yīng)力。
41、 為了節(jié)省材料，減輕結(jié)構(gòu)的重量，可在彎矩較小處采用較小的截面，這種截面尺寸沿梁軸線變化的梁稱為變截面梁。
42、 等強度梁 --使變截面梁每個截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力，則這種梁稱之。
43、《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》按梁上荷載分布將承臺梁分為4種情況(圖1)。
44、內(nèi)力計算根據(jù)荷載情況分跨中和支座分別計算見表1。
45、 在表1的公式(1)~(7)中 p0--線荷載的最大值(kN/m),p0= a0--自樁邊算起的三角形荷載的底邊長度; LC--計算跨度,LC=1.05L; L--兩相鄰樁之間的凈距; q--承臺梁底面以上的均布荷載。
46、表1 墻下條形樁基連續(xù)承臺梁內(nèi)力計算公式內(nèi)力 計算簡圖編號 內(nèi) 力 計 算 公 式 支座彎矩 (a)、(b)、(c) (1) (d) M=- (2) 跨中彎矩 (a)、(c) M= (3) (b) (4) (d) M= (5) 最大剪力 (a)、(b)、(c) Q= (6) (d) Q= (7)圖1 計算簡圖a0按下式計算: 中間跨 (8) 邊 跨 (9) 其中 EC--承臺梁砼彈性模量; EK--墻體的彈性模量; I--承臺梁橫截面的慣性矩; bK--墻體寬度。
47、 當(dāng)承臺梁為矩形截面時,I=bh3 則: 中間跨 a0=1.37h (10) 邊 跨 a0=1.05h (11) 其中 b、h--分別為承臺梁的寬度和高度。
48、 表1中彎矩公式共5個,公式中荷載取值也不統(tǒng)一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,這也給計算帶來了不便。
49、下面分別對跨中和支座彎矩進行分析。
50、 (1)跨中彎矩 從計算簡圖可看出,(d)圖是(b)圖所示受力情況的特例,當(dāng)a0≥LC時,取a0=LC代入式(4)即可得式(5)。
51、當(dāng)a0＜時,跨中彎矩采用式(3),a0≥時,采用式(4)。
52、 令β=,并將P0==代入式(3)和式(4) 得: M=β2qL2C (13) (14) 將上兩式統(tǒng)一表示為: M=A0qL2C (15) 式(15)即為跨中彎矩計算公式,它適用于圖(a)~(d)所示的四種受力簡圖。
53、 (2)支座彎矩 圖(a)、(c)、(d)均為圖(b)所示受力情況的特例,式(1)為支座彎矩計算通式。
54、 將β=和P0==代入式(1) 得 M=β(2-β) (16) 或 M=B0qL2C (17) (3)彎矩系數(shù)A0、B0 跨中彎矩 M=A0qL2C (15) 支座彎矩 M=B0qL2C (17)其中 A0、B0--彎矩系數(shù),分別為: β=≤0.5，A0=β2 β＞0.5時,A0=β B0=-β(2-β) A0、B0皆為β的單值函數(shù),為簡化計算,將其列表(表2)。
55、表2 墻下條形樁基連續(xù)承臺梁內(nèi)力系數(shù)β 內(nèi) 力 系 數(shù) β 內(nèi) 力 系 數(shù) A0 B0 A0 B0 0.10 0.00083 -0.01583 0.56 0.02590 -0.06720 0.12 0.00120 -0.01880 0.58 0.02753 -0.06863 0.14 0.00163 -0.02170 0.60 0.02907 -0.07000 0.16 0.00213 -0.02453 0.62 0.03053 -0.07130 0.18 0.00270 -0.02730 0.64 0.03190 -0.07253 0.20 0.003331 -0.03000 0.66 0.03317 -0.07370 0.22 0.00403 -0.03263 0.68 0.03433 -0.07480 0.24 0.00480 -0.03520 0.70 0.03539 -0.07583 0.26 0.00563 -0.03770 0.72 0.03635 -0.07680 0.28 0.00653 -0.04013 0.74 0.03722 -0.07770 0.30 0.00750 -0.04250 0.76 0.03799 -0.07853 0.32 0.00853 -0.04480 0.78 0.03867 -0.07930 0.34 0.00963 -0.04703 0.80 0.03927 -0.08000 0.36 0.01080 -0.04920 0.82 0.03979 -0.08063 0.38 0.01203 -0.05130 0.84 0.04023 -0.08120 0.40 0.01333 -0.05333 0.86 0.04061 -0.08170 0.42 0.01470 -0.05530 0.88 0.04091 -0.08213 0.44 0.01613 -0.05720 0.90 0.04116 -0.08250 0.46 0.01763 -0.05903 0.92 0.04136 -0.08280 0.48 0.01920 -0.06080 0.94 0.04150 -0.08303 0.50 0.02083 -0.06250 0.96 0.04159 -0.08320 0.52 0.02252 -0.06413 0.98 0.04165 -0.08330 0.54 0.02423 -0.06570 1.00 0.04167 -0.08333 式(15)和式(17)代替規(guī)范的5個公式,公式形式統(tǒng)一,且不需計算P0,直接采用均布荷載,結(jié)合內(nèi)力系數(shù)表,設(shè)計計算十分簡便。
56、剪力計算公式較簡單,仍采用原公式。
57、3 算例(文獻〔3〕) 五層混合結(jié)構(gòu)房屋,磚墻承重,內(nèi)墻厚240mm,外墻厚370mm。
58、基礎(chǔ)采用直徑320mm,長6m的鉆孔灌注樁。
59、鋼筋砼承臺梁,梁高300mm,梁寬:外墻400mm;內(nèi)墻350mm。
60、承臺梁底面以上荷載為:橫墻q=142.9kN/m;外縱墻q=85.0kN/m。
61、試計算外縱墻和內(nèi)橫墻墻下承臺梁的內(nèi)力(圖2)。
62、 圖2 單元樁基平面圖 解: 1.外縱墻下承臺梁 承臺梁采用C20砼,I級鋼筋,墻體采用MU7.5磚、M5混合砂漿。
63、 EC=2.55×104N/mm2 EK=1500f =1500×1.37 =2055N/mm2 (f--墻體抗壓強度設(shè)計值) LC=1.05L=1.05(1.65-0.32) =1.40m＜1.65m 承臺梁尺寸400mm×300mm (1)中間跨 a0=1.37h =1.37×300=977mm β===0.698 查表2,得:A0=0.03536 B0=-0.07581 則:跨中彎矩 M=A0qL2C=0.03536×85×14002 =5.89×***.mm 支座彎矩 M=B0qL2C=-0.07581×85×14002 =-12.63×***.mm (2)邊跨 a0=1.05h =1.05×300=747mm β===0.534 查表2,得:A0=0.02372 B0=-0.06525 則:跨中彎矩 M=A0qL2C=0.02372×85×14002 =3.95×***.mm 梁端支座彎矩 MA=0 第二支座 MB=B0qL2C=-0.06525×85×14002 =-10.9×***.mm圖3 縱墻承臺梁計算簡圖 2.橫墻下承臺梁(近似按中跨計算) 承臺梁尺寸350mm×300mm LC=1.05L=1.05(1.2-0.32) =0.92m＜1.2m a0=1.37h=1.37×300=1079mm β=＞1.0 取β=1.0 查表2,得:A0=0.04167 B0=-0.08333 跨中彎矩 M=A0qL2C=0.04167×142.9×9202 =5.0×***.mm 支座彎矩 M=B0qL2C=-0.08333×142.9×9202 =-10.1×***.mm 剪力計算較簡單,略。
64、4 結(jié)語 通過上述分析與計算可以看出,本文提出的計算方法較《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》(JGJ94-94)法形式簡捷,計算簡便,是一個實用的方法。
65、圖4 橫墻承臺梁計算簡圖。
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